[OpenGL] 벡터 (Vector)

■ Vector

벡터의 가장 기본적인 정의는 방향이다. 벡터는 방향과 크기를 가지고 있다. 벡터는 어떤 차원도 가질 수 있지만, 보통 2차원에서 4차원의 벡터를 주로 다룬다. 벡터가 2차원일 경우 이는 평면상의 방향을 나타내며, 3차원일 경우 3D 세계에서의 모든 방향을 나타낼 수 있다.

2D로 벡터를 표시하는 것이 더 직관적이기 때문에 2D 벡터를 z 좌표가 0인 3D 벡터로 생각할 수 있다. 벡터는 방향을 나타내기 때문에 벡터의 시작점(원점)은 그 값에 영향을 주지 않는다.

벡터를 위치로 시각화하려면 방향 벡터의 원점을 (0,0,0)으로 생각하고 특정 방향을 가리키게 하면, 그것이 위치 벡터가 된다. 이렇게 벡터를 사용하여 2D 및 3D 공간에서 방향과 위치를 설명할 수 있다.

일반 숫자와 마찬가지로 벡터에도 여러 가지 연산을 정의할 수 있다.

● 벡터의 스칼라 연산 (Scalar vector operations)

스칼라는 단일 숫자를 의미한다. 벡터에 스칼라를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눌 때, 벡터의 각 요소에 스칼라를 단순히 더하거나 빼거나 곱하거나 나눕니다.

● 역벡터 (Vector negation)

벡터를 부정(negate)하면 반대 방향의 벡터가 된다. 벡터를 부정하려면 각 구성 요소에 마이너스 기호를 추가한다. (스칼라 값 -1과의 곱셈으로도 표현할 수 있다)

● 덧셈과 뺄셈

- 덧셈
두 벡터의 덧셈은 구성 요소별 덧셈으로 정의된다. 즉, 한 벡터의 각 구성 요소에 다른 벡터의 같은 구성 요소를 더하는 방식이다.

시각적으로, 벡터 𝑣 = (4, 2)와 𝑘 = (1, 2)의 덧셈을 보면, 두 번째 벡터를 첫 번째 벡터의 끝에 추가하여 결과 벡터의 끝점을 찾는 방식(head-to-tail method)으로 표현할 수 있다.
𝑣 + 𝑘 = (5, 4) → 시작점에서 새로운 끝점까지의 벡터가 결과 벡터이다.

- 뺄셈

일반적인 덧셈과 뺄셈처럼, 두 벡터의 뺄셈은 두 번째 벡터를 부정한 후 덧셈을 하는 것과 동일하다.

두 벡터를 서로 빼면, 각 벡터가 가리키는 위치의 차이를 나타내는 벡터가 생성된다. 이는 두 점 사이의 차이를 나타내는 벡터를 얻어야 할 때 매우 유용하다.

● 길이

벡터의 길이(또는 크기)를 구하려면 피타고라스 정리를 사용한다. (벡터는 각 x 및 y 구성 요소를 삼각형의 두 변으로 시각화할 때 삼각형을 형성한다)

● 단위 벡터 (Unit Vector)

단위 벡터는 길이가 정확히 1인 특별한 종류의 벡터이다. 임의의 벡터에서 단위 벡터를 계산하려면 벡터의 각 구성 요소를 벡터의 길이로 나누면 된다. (이를 벡터의 정규화(normalizing)라고 한다)

* 벡터를 정규화하여 단위 벡터를 구하면 다양한 연산에서 유용하게 사용할 수 있다. 예를 들어, 단위 벡터는 벡터의 방향을 유지하면서 크기를 무시할 수 있어 여러 상황에서 편리하다.

● 벡터와 벡터의 곱셈

벡터 두 개를 곱하는 것은 다소 특이한 경우이다. 일반적인 곱셈은 벡터에 대해 정의되지 않으며, 시각적 의미도 없다.

벡터 곱셈의 경우 내적(dot product), 외적(cross product) 두 가지 특정한 연산이 있다.

○ 내적 (dot product)

두 벡터의 내적은 두 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도(θ)의 코사인 값을 곱한 값과 같다.

v ⋅ k = ∥v∥ ⋅ ∥k∥ ⋅ cosθ

- 내적의 특성

평행 벡터 : 두 벡터가 평행하면 θ는 0도 또는 180도가 된다. 이 경우, 내적은 벡터의 길이의 곱이 된다.
직교 벡터 : 두 벡터가 직교하면 θ는 90도가 된다. 이 경우, 내적은 0이 된다.

- 두 벡터 사이의 각도

두 벡터의 내적한 값을 두 벡터의 길이로 나누어 코사인 값을 얻고, 아크코사인 함수(코사인의 역함수)를 적용하여 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있다.

- 내적의 활용

내적은 조명 계산 등에서 매우 유용하다. 조명 계산에서 내적을 사용하여 벡터 간의 각도를 계산하고, 이를 통해 물체의 표면에 비치는 빛의 강도를 조절할 수 있다. 예를 들어, 조명의 방향과 물체의 표면 노멀 벡터 사이의 내적은 표면에 비치는 조명의 강도를 결정하는 데 사용된다.

○ 외적 (cross product)

외적은 3차원 공간에서만 정의되며, 두 비평행 벡터를 입력으로 받아 두 입력 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터를 생성한다. 만약 두 벡터가 서로 직교한다면, 외적은 3개의 직교 벡터를 생성할 수 있다.

- 외적의 의미

수직 벡터 : 외적의 결과로 얻은 벡터는 두 입력 벡터가 생성하는 평면에 수직이다.
크기 : 외적의 크기는 두 벡터가 생성하는 평행사변형의 면적을 나타낸다.

외적은 3차원 공간에서 벡터의 방향과 평면을 정의하는 데 중요한 역할을 한다.