[OpenGL] 행렬 (Matrix)

■ 행렬 (Matrix)

행렬은 숫자, 기호, 또는 수학적 표현이 직사각형 배열로 정렬된 것이다. 행렬의 각 개별 항목은 행렬의 요소라고 한다.

행렬은 (i, j)로 인덱스가 매겨지며, 여기서 i는 행(row)이고 j는 열(column)이다. 이는 행렬의 차원(dimension)을 의미한다. 이와 달리 2D 그래프에서는 (x, y)로 인덱싱하는 것과는 반대이다.

행렬은 매우 유용한 수학적 성질들을 가지고 있으며, 벡터와 마찬가지로 행렬에 대해 여러 연산을 정의할 수 있다. 예를 들어, 행렬의 덧셈, 뺄셈, 그리고 곱셈 연산이 있다.

■ 행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬의 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 각 요소를 기준으로 수행된다. 즉, 두 행렬의 동일한 인덱스에 있는 요소들끼리 연산을 수행한다. 이 의미는 덧셈과 뺄셈이 동일한 차원의 행렬들에 대해서만 정의된다는 것이다. 예를 들어, 3x2 행렬과 2x3 행렬(또는 3x3 행렬과 4x4 행렬)은 서로 덧셈이나 뺄셈을 할 수 없다.

■ 행렬과 스칼라의 곱셈

행렬과 스칼라의 곱셈은 행렬의 각 요소를 스칼라로 곱하는 연산이다. 여기서 스칼라(scalar)란 단순히 행렬의 모든 요소를 스칼라의 값으로 스케일(scaling)하는 것과 같은 의미이다.

■ 행렬과 행렬의 곱셈

1. 왼쪽 행렬의 열의 개수와 오른쪽 행렬의 행의 개수가 같아야 곱셈이 가능하다.
즉, 왼쪽 행렬이 (m, n) 행렬이면 오른쪽 행렬은 (n, p) 행렬이어야 한다.
2. 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

왼쪽 행렬의 한 행과 오른쪽 행렬의 한 열을 가져와 행과 열의 첫 번째 요소끼리 곱한다. 이후 요소들도 똑같이 곱한 후 값들을 모두 합하여 결과값을 구한다.

(m, n) 행렬과 (n, p) 행렬의 곱셈의 결과는 (m, p) 차원의 행렬이 된다.

■ 행렬과 벡터의 곱셈

벡터는 기본적으로 N개의 구성 요소를 가진 Nx1 행렬이다. (이때 N은 벡터의 차원을 나타낸다) 이는 만약 MxN 행렬이 있다면, Nx1 벡터와 곱할 수 있음을 의미한다.

그렇다면 왜 우리가 행렬과 벡터를 곱할 수 있다는 사실에 신경 써야 할까? 그 이유는, 2D/3D 변환의 많은 흥미로운 것들을 행렬 안에 넣을 수 있고, 그 행렬과 벡터를 곱하면 벡터가 변환되기 때문이다.

● 항등 행렬 (Identity Matrix)

우리가 생각할 수 있는 가장 간단한 변환 행렬은 항등 행렬(단위 행렬)이다. 항등 행렬은 주대각선을 제외하고 모두 0으로 구성된 NxN 행렬이다. 이 변환 행렬은 벡터에 아무런 영향을 주지 않는다.

항등 행렬은 일반적으로 다른 변환 행렬을 생성하기 위한 출발점으로 사용된다. 더 깊이 들어가면, 항등 행렬은 정리를 증명하고 연립 방정식을 푸는 데 매우 유용한 행렬이다.

● Scaling (확대, 축소)

벡터를 스케일링한다는 것은 화살표의 길이를 원하는 만큼 늘리면서 그 방향은 그대로 유지하는 것을 의미한다. 우리가 2차원 또는 3차원에서 작업하고 있기 때문에, 각 축(x, y, z)을 각각 스케일링하는 2개 또는 3개의 스케일링 변수로 스케일링을 정의할 수 있다.

스케일링 변수가 각 축마다 동일하다면 균일 스케일(uniform scale)이라고 하며 각 축마다 같지 않다면 비균일 스케일(non-uniform scale)이라고 한다.

예를들어 3배의 스케일링을 수행하는 변환 행렬을 만들기 위해 항등 행렬의 1을 모두 3으로 바꾼다면, 벡터의 각 요소에 3을 곱하게 되어 벡터가 균일하게 3배로 스케일링된다.

● Translation (평행 이동)

평행 이동은 벡터에 다른 벡터를 더하여 새로운 위치를 가진 벡터를 생성하는 과정이다.

스케일링 행렬과 마찬가지로, 4x4 행렬에는 특정 연산을 수행할 수 있는 여러 위치가 있다. 평행 이동을 위해서는 4번째 열의 상위 3개 값이 사용된다. (평행 이동 변수값이 벡터의 w요소 즉, 1과 곱해져 평행 이동 값 그대로 벡터의 원래 값에 더해진다)

- Homogeneous coordinates (동차 좌표)

벡터의 w 구성 요소는 동차 좌표로도 알려져 있다. 동차 벡터에서 3D 벡터를 얻으려면 x, y, z 좌표를 w 좌표로 나눈다. 대부분의 경우 w 구성 요소가 1.0이기 때문에 이를 알아채지 못하는 경우가 많다.

동차 좌표를 사용하는 것은 여러 가지 이점이 있다. 3D 벡터에 대해 행렬 평행 이동을 할 수 있게 해주고(w 구성 요소가 없으면 벡터를 평행 이동할 수 없다), 이 w 값을 사용하여 3D 원근법을 구현할 수 있다.

또한, 동차 좌표가 0일 때 벡터는 방향 벡터라고 특별히 불리며, w 좌표가 0인 벡터는 평행 이동할 수 없다.

● Rotation (회전)

앞서 다룬 몇 가지 변환은 2D 또는 3D 공간에서 이해하고 시각화하기 상대적으로 쉬웠지만, 회전은 조금 더 까다롭다.

먼저, 벡터의 회전이 실제로 무엇인지 정의하면, 2D 또는 3D에서의 회전은 각도로 표현된다. 각도는 도(degrees) 또는 라디안(radians) 단위로 표현될 수 있으며, 원 전체는 360도 또는 2π 라디안이다. 일반적으로 도 단위에 더 익숙하기 때문에 회전을 설명할 때 도 단위를 사용하는 것을 선호한다.

대부분의 회전 함수는 라디안 단위를 필요로 하지만, 다행히도 도(degrees)를 라디안(radians)으로 쉽게 변환할 수 있다.

- 라디안 = 도 * (PI / 180)
- 도 = 라디안 * (180 / PI)

* π는 반올림하여 3.14159265359

3D에서의 회전은 각도와 회전 축으로 지정된다. 지정된 각도는 주어진 회전 축을 따라 물체를 회전시킨다. 예를 들어, 3D 세계에서 2D 벡터를 회전시킬 때, 회전 축을 z축으로 설정한다.

삼각법(Trigonometry)을 사용하면 주어진 각도에 따라 벡터를 새로 회전된 벡터로 변환할 수 있다. 이는 일반적으로 사인(sin)과 코사인(cos) 함수의 조합을 통해 수행된다.

회전 행렬은 3D 공간의 각 단위 축에 대해 정의되며, 각도는 θ(세타) 기호로 표시된다.

- x축을 중심으로 회전
(x, y, z, 1) → (x, cosθ⋅y - sinθ⋅z, sinθ⋅y + cosθ⋅z, 1)

- y축을 중심으로 회전
(x, y, z, 1) → (cosθ⋅x + sinθ⋅z, y, −sinθ⋅x + cosθ⋅z, 1)

- z축을 중심으로 회전
(x, y, z, 1) → (cosθ⋅x − sinθ⋅y, sinθ⋅x + cosθ⋅y, z, 1)

회전 행렬을 사용하면 3개의 단위 축 중 하나를 중심으로 위치 벡터를 변환할 수 있다. 또한 X축을 중심으로 회전한 다음 Y축, 그 다음 Z축을 중심으로 회전하는 방식으로 3개의 회전 행렬을 조합할 수 있다.

이렇게 하면 '짐벌 락(Gimbal Lock)'이라는 문제를 초래할 수 있다. 더 나은 방법은 회전 행렬을 조합하는 대신 임의의 단위 축, 예를 들어 (0.662, 0.2, 0.722) (이 벡터가 단위 벡터임을 주의) 주위로 직접 회전하는 것이다.

하지만 이 방법도 짐벌 락 현상이 발생할 수 있다. 완벽히 짐벌 락 현상을 예방하는 방법은 사원수(Quaternion)를 사용하여 회전시키는 것이다.

■ 행렬의 조합

행렬을 사용하여 변환을 수행하는 진정한 장점은 행렬-행렬 곱셈 덕분에 여러 변환을 하나의 행렬로 결합할 수 있다는 점이다. 예를 들어, 하나의 변환 행렬로 벡터 (x,y,z)를 2배로 스케일링한 후 (1,2,3)만큼 평행 이동이 가능하다.

행렬을 곱할 때는 먼저 평행 이동을 하고 그 다음에 스케일 변환을 한다. 행렬 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 순서가 중요하다. 행렬을 곱할 때는 가장 오른쪽에 있는 행렬이 먼저 벡터와 곱해지므로, 곱셈을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야 한다.

행렬을 결합할 때는 먼저 스케일링을 하고, 그 다음에 회전을 하고, 마지막으로 평행 이동을 하는 것이 좋다. 그렇지 않으면 변환들이 서로에게 부정적인 영향을 미칠 수 있다. 예를 들어, 먼저 평행 이동을 하고 그 다음에 스케일링을 하면 평행 이동 벡터도 스케일링된다.