[OpenGL] 좌표계 (Coordinate System)

■ NDC

OpenGL은 각 정점 셰이더 실행 후 모든 정점이 정규화된 좌표계(NDC, Normalized Device Coordinate)에 있어야 한다고 요구한다. 즉, 각 정점의 x, y, z 좌표는 -1.0에서 1.0 사이에 있어야 하며, 이 범위를 벗어난 좌표는 보이지 않게 된다.

일반적으로 우리는 좌표를 우리가 설정한 범위(또는 공간)에서 지정하고, 이 좌표를 정점 셰이더에서 정규화된 좌표계로 변환한다. 그런 다음 이 NDC를 '래스터라이저'에 전달하여 화면상의 2D 좌표/픽셀로 변환한다.

■ 변환 과정

좌표를 하나의 공간에서 다음 좌표 공간으로 변환하기 위해, 우리는 여러 가지 변환 행렬을 사용한다. 그중 가장 중요한 행렬은 Model 행렬, View 행렬, Projection 행렬이다. 정점 좌표는 먼저 Local Space에서 Local Coordinates로 시작하여 이후 World Coordinates, View Coordinates, Clip Coordinates를 거쳐 최종적으로 Screen Coordinates로 변환된다.

1. Local Coordinates(로컬 좌표)는 객체의 로컬 원점에 대한 좌표이다. (객체가 시작하는 좌표)
2. 다음 단계는 Local Coordinates를 World-Space Coordinates로 변환하는 것이다. 이는 더 큰 World에 대한 좌표로, World의 글로벌 원점을 기준으로 다른 객체들과 함께 배치된다.
3. 다음으로 World Coordinates를 View-Space Coordinates로 변환하여, 각 좌표를 카메라 또는 관찰자의 시점에서 본 것처럼 만든다.
4. View Space에서 좌표를 Clip Coordinates로 투영한다. Clip Coordinates는 -1.0에서 1.0의 범위로 처리되며, 어떤 정점이 화면에 나타날지를 결정한다. Perspective Projection(원근 투영)을 사용하는 경우 Clip-Space Coordinates로의 투영은 원근감을 추가할 수 있다.
5. 마지막으로 Clip Coordinates를 Screen Coordinates로 변환하는 과정을 거친다. 이 과정은 Viewport(뷰포트) 변환이라고 하며, 좌표를 -1.0과 1.0에서 glViewport에 의해 정의된 좌표 범위로 변환한다. 변환된 좌표는 래스터라이저로 보내져 프래그먼트로 변환된다.

■ Coordinate System (좌표계)

좌표를 NDC로 변환하는 것은 보통 단계별로 이루어지며, 객체의 정점을 여러 좌표계로 변환한 후 최종적으로 NDC로 변환한다. 여러 중간 좌표계로 변환하는 이유는 특정 좌표계에서 일부 연산이 더 쉬워지기 때문이다. 총 5가지 중요한 좌표계가 있다.

● Local Space (로컬 공간)

로컬 공간은 객체에 국한된 좌표 공간, 즉 객체가 시작하는 위치를 나타낸다. 대부분의 모델은 (0,0,0)을 초기 위치로 가지고 있을 가능성이 크다. 따라서 모델의 모든 정점은 객체에 국한된 좌표로, 로컬 공간에 있다.

● World Space (월드 공간)

각 객체를 더 큰 3차원 세상 안에 위치시키기 위해 모든 정점의 좌표를 (게임) 세계에 상대적으로 배치한다. 객체의 좌표는 로컬 공간에서 월드 공간으로 변환되며, 이는 Model 행렬을 통해 수행된다.

Model 행렬은 객체를 위치시키고자 하는 장소/방향에 맞게 변환하는 변환 행렬이다. 이는 객체를 평행 이동, 스케일 조정, 회전하여 세계에 배치한다.

● View Space (뷰 공간)

뷰 공간은 보통 OpenGL의 카메라라고 불리는 공간이다 (Camera Space 또는 Eye Space라고도 한다). 뷰 공간은 World Space 좌표를 사용자의 시야 앞에 있는 좌표로 변환한 결과이다. 이는 일반적으로 변환과 회전의 조합을 통해 장면을 이동/회전시켜 특정 항목이 카메라 앞에 오도록 변환하는 방식으로 이루어진다. 이러한 변환은 일반적으로 뷰 행렬에 저장되어 월드 좌표를 뷰 공간으로 변환한다.

● Clip Space (클립 공간)

OpenGL에서는 각 Vertex Shader 실행의 끝에 좌표가 특정 범위 내에 있어야 하며, 이 범위를 벗어나는 좌표는 클리핑된다. 클리핑된 좌표는 삭제되므로, 남은 좌표만이 화면에 보이는 프래그먼트로 끝나게 된다.

모든 좌표를 처음부터 -1.0과 1.0 사이로 지정하는 것은 프로그래머에게 직관적이지 않기 때문에, 우리는 작업할 좌표들을 지정하고 이를 OpenGL이 이해할 수 있는 NDC(정규화된 좌표계) 형식으로 변환한다.

정점 좌표를 View Space에서 Clip Space로 변환하기 위해, 우리는 Projection(투영) 행렬이라고 불리는 행렬을 정의한다. 이 행렬은 각 차원에서 좌표 범위(예를 들어 -1000에서 1000까지)를 지정한 뒤, 이 지정된 범위 내의 좌표를 NDC(-1.0, 1.0)로 변환한다. (직접적으로 변환하는 것이 아니라, 원근 분할이라는 단계가 중간에 있다) 이 범위를 벗어난 모든 좌표는 -1.0과 1.0 사이에 Mapping되지 않고 클리핑된다.

* 삼각형과 같은 기본 도형의 일부만 클리핑 볼륨 밖에 있는 경우, OpenGL은 해당 삼각형을 클리핑 범위 내에 맞도록 하나 이상의 삼각형으로 재구성한다.

- Projection (투영)

특정 범위 내의 좌표를 NDC로 변환하는 전체 과정을 '투영'이라고 한다. Projection 행렬이 만드는 이 뷰잉 박스를 '프러스텀(frustum)'이라고 하며, 이 프러스텀 내에 위치한 좌표는 사용자의 화면에 표시된다.

모든 정점이 Clip Space로 변환된 후, 마지막으로 원근 분할(Perspective Division)이라는 작업이 수행된다. 이 과정에서 위치 벡터의 x, y, z 성분을 벡터의 homogeneous w 성분으로 나누게 된다. 원근 분할은 4D 클립 공간 좌표를 3D 정규화된 좌표계로 변환하는 과정이다. 이 단계는 Vertex Shader 단계가 끝날 때 자동으로 수행된다.

* homogeneous (동치)

homogeneous 좌표 시스템에서는 3D 공간의 한 점을 나타내기 위해 (x, y, z, w) 형태의 4차원 벡터를 사용한다. 여기서 w는 homogeneous 좌표의 네 번째 성분이다. homogeneous 좌표와 w 성분을 사용하는 이유는 변환을 4x4 행렬로 표현하여 하나의 행렬 연산으로 통일할 수 있고, (x, y, z) 좌표를 w 좌표로 나눠서 가까운 객체는 크게, 먼 객체는 작게 표현하여 원근감을 표현할 수 있기 때문이다.

이 단계 이후, 결과 좌표는 Screen Coordinates로 매핑되고 (glViewport 설정을 사용하여) 프래그먼트로 변환된다.

View Coordinates를 Clip Coordinates로 변환하는 투영 행렬은 일반적으로 두 가지 형태를 취한다. 각각의 형태는 고유한 프러스텀을 정의하며, 직교 투영 행렬(Orthographic Projection Matrix) 또는 원근 투영 행렬(Perspective Projection Matrix)을 만들 수 있다.

○ Orthographic Projection

Orthographic Projection(직교 투영 행렬)은 큐브와 같은 형태의 Frustum 박스를 정의하여, 이 박스 밖에 있는 모든 정점들을 클리핑한다. 직교 투영 행렬을 만들 때 우리는 Visible Frustum의 너비, 높이, 길이를 지정한다. 이 Frustum 내부의 모든 좌표는 행렬에 의해 변환된 후 NDC(Normalized Device Coordinates) 범위 내에 들어오며, 따라서 클리핑되지 않는다.

Frustum은 Visible Coordinates를 정의하며 너비, 높이, Near Plane과 Far Plane으로 지정된다. Near Plane 앞에 있는 모든 좌표는 클리핑되고, Far Plane 뒤의 좌표도 마찬가지로 클리핑된다. Orthographic Frustum은 변환된 벡터의 w 컴포넌트에 영향을 주지 않기 때문에, Frustum 내부의 모든 좌표를 정규화된 장치 좌표(Normalized Device Coordinates)로 직접 매핑한다. w 컴포넌트가 1.0으로 유지되면 원근 분할이 좌표를 변경하지 않는다.

Orthographic Projection Matrix(직교 투영 행렬)를 생성하기 위해 GLM의 내장 함수인 glm::ortho를 사용한다.

glm::ortho(0.0f, 800.0f, 0.0f, 600.0f, 0.1f, 100.0f);

첫 번째와 두 번째 매개변수는 Frustum의 왼쪽과 오른쪽 좌표를 지정하고, 세 번째와 네 번째 매개변수는 Frustum의 하단과 상단 부분을 지정한다. 이 네 개의 점으로 Near Plane과 Far Plane의 크기를 정의하고, 다섯 번째와 여섯 번째 매개변수는 Near Plane과 Far Plane 사이의 거리를 정의한다. 이 특정 투영 행렬은 x, y, z 범위 값 사이의 모든 좌표를 NDC로 변환한다.

직교 투영 행렬은 좌표를 2D 평면(화면)에 직접 매핑하지만, 실제로는 투영이 원근을 고려하지 않기 때문에 비현실적인 결과를 초래할 수 있다. 이는 원근 투영 행렬이 해결해 주는 부분이다.

○ Perspective Projection

현실에서는 원근감 때문에 멀리 있는 물체가 작아보이며 선들이 충분히 먼 거리에서 한 점으로 모이는 것처럼 보인다. 이것이 원근 투영이 모방하려고 하는 효과이다.

투영 행렬은 주어진 Frustum 범위를 Clip Space로 매핑할 뿐만 아니라, 각 정점 좌표의 w 값을 조작하여 관찰자와의 거리가 멀어질수록 w 컴포넌트가 커지도록 만든다. 좌표가 클립 공간으로 변환되면 -w에서 w 범위 내에 있게 되며(이 범위를 벗어나는 것은 클리핑된다), OpenGL에서는 최종 정점 셰이더 출력이 -1.0에서 1.0 사이의 가시 범위에 있어야 한다. 따라서 좌표가 클립 공간에 있을 때, 클립 공간 좌표에 원근 분할이 적용된다.

out = (x/w, y/w, z/w)

각 정점 좌표의 구성 요소는 w 성분으로 나누어져, 정점이 관찰자로부터 멀어질수록 더 작은 정점 좌표를 얻게 된다. 이는 w 성분이 중요한 또 다른 이유로, 원근 투영을 구현하는 데 도움이 된다. 결과 좌표는 Normalized Device Space에 있게 된다. 

Perspective Projection Matrix(원근 투영 행렬)는 GLM에서 다음과 같이 생성할 수 있다.

 

glm::mat4 proj = glm::perspective(glm::radians(45.0f), (float)width/(float)height, 0.1f, 100.0f);

 

 

glm::perspective 함수는 Visible Space를 정의하는 큰 Frustum을 생성하며, 이 Frustum 밖에 있는 모든 것은 클립 공간 범위에 포함되지 않아 클리핑된다. Perspective Frustum은 이 상자 내부의 각 좌표가 클립 공간의 한 점에 매핑되는 비균일한 모양의 박스로 시각화할 수 있다.

첫 번째 매개변수는 시야각(FOV)을 정의하며, 이는 시야 공간의 크기를 설정한다. 두 번째 매개변수는 화면 비율(Aspect Ratio)을 설정하며, 이는 뷰포트의 너비를 높이로 나누어 계산된다. 세 번째와 네 번째 매개변수는 Frustum의 Near Plane과 Far Plane을 설정한다. 일반적으로 Near Plane 거리는 0.1, Far Plane 거리는 100.0으로 설정한다. Frustum 내에서 Near Plane과 Far Plane 사이에 있는 모든 정점이 렌더링된다.

● 종합

모든 단계를 종합하면, 모델, 뷰, 투영 행렬 각각에 대한 변환 행렬을 생성하고, 정점 좌표는 다음과 같이 클립 좌표로 변환된다.

𝑉 clip = 𝑀 projection ⋅ 𝑀 view ⋅ 𝑀 model ⋅ 𝑉 local

* 행렬 곱셈의 순서는 오른쪽부터임을 유의

변환된 정점은 이후 정점 셰이더에서 gl_Position에 할당되어야 하며, 그러면 OpenGL이 자동으로 원근 분할과 클리핑을 수행한다.

원근 분할과 클리핑을 통해 클립 공간에서 NDC로 변환된 이후, OpenGL은 glViewport에서 제공된 매개변수를 사용해 NDC 좌표를 화면 좌표로 매핑한다 (이 과정을 뷰포트 변환이라고 한다)